无论是解答两者容斥还是三者容斥问题，基本的方法有两种，一种是文氏图，另一种就是用公式。

　　

　　下面我们来看看怎么用这两招解决容斥问题。

　　

　　第一招：文氏图

　　

　　我们从简单的两者容斥问题开始看看文氏图解题方法。

　　

　　例1.某班对50名学生进行体检，有20人近视，12人超重，4人既近视又超重。该班有多少人既不近视又不超重?

　　

　　A.22人 B.24人 C.26人 D.28人

　　

　　解析：总数50=20+12+既不近视又不超重的人-4，得出既不近视又不超重的人=22人。那么由此可知近视和超重的人一共是20+12-4=28人。

　　

　　根据题目画出文氏图，如下图所示，总人数是50人，那么既不近视又不超重的人有50-28=22人。故答案选A。

       
　　

　　下面再看看较为复杂的三者容斥问题。

　　

　　例2.某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，其中有24人三部电影全部看过，20人一部电影也没有看过，则只看过其中两部电影的人数是( )。

　　

　　A.69人 B.65人 C.57人 D.46人

　　

　　解析：根据题意画出文氏图，如下图所示。看过甲、乙、丙三部电影的人有：125-20=105人。那么只看过其中两部电影的人数是：(89+47+63)-2×24-105=46人。故答案选D。

      　　

　　通过上面两道题目我们可以体会到当题目中不涉及到最大值/最小值时，我们直接画文氏图就可以解决问题，利用文氏图解决问题的时候只要把全部的情况全部都算上，再把重复的变为单次就可以了!

　　

　　第二招：公式

　　

　　在解决极大值、极小值或者说最大值、最小值的问题上我们才会用公式，其他的题目一般就是画文氏图。下面公务员考试网带领大家通过例题来学习一下。

　　

　　例3.在100个学生中，音乐爱好者有56人，体育爱好者有75人，那么既爱好音乐又爱好体育的人最少有多少人?最多有多少人?

　　

　　既爱好音乐又爱好体育的人其实就是如下图中两个集合的交集，很容易看出当一个集合完全融于另一个集合时两个集合的交集最大。

       　　

　　也就是说既爱好音乐又爱好体育的人最多有56人。两个集合分别用A、B表示。那么(A∩B)max =min {A，B}。同理三者容斥的最大值(A∩B∩C)max =min {A，B，C}。

　　

　　既爱好音乐又爱好体育的人最少有多少人呢?我们知道：全集=爱好音乐+爱好体育-既爱好音乐又爱好体育+既不爱好音乐也不爱好体育，即I=A+B-A∩B +○，A∩B=A+B+○-I，A、B、I是固定不变的，那么求A∩B的最小值，那就要求○也最小，○最小可以为0。那么可知(A∩B)min=A+B-I，同理(A∩B∩C)min=A+B+C-2I，(A∩B∩C∩D)min=A+B+C+D-3I。

　　

　　那么在本题目中既爱好音乐又爱好体育的人最少有：56+75-100=31人。

　　

　　容斥问题的变化形式比较灵活，只要我们能把容斥原理的解题原则掌握好，其实很多题都是类似的，也希望大家能灵活应对容斥问题中的各种题型。